Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Dérivée de x f(ax + b) : La dérivée est x a f'(ax + b). • Dérivée de l'exponentielle composée : (e^ax+b)' = a \, e^ax+b. • Conséquence directe pour les primitives : Une primitive de e^ax+b (avec a 0) est 1/a e^ax+b. • Règle du produit : (uv)' = u'v + uv'.

Le cours

1. Dérivée de x g(ax+b) Soit g une fonction dérivable et a, b deux réels. La fonction f : x g(ax+b) est dérivable en tout réel x tel que ax+b appartient à l'ensemble de dérivabilité de g, et : (g(ax+b))' = a\,g'(ax+b) Le coefficient a est la dérivée de la fonction affine intérieure x ax+b. 2. Cas usuels • (e^ax+b)' = a\,e^ax+b • ((ax+b)^n)' = na\,(ax+b)^n-1 pour n entier, n 1 • (1/ax+b)' = -a/(ax+b)^2 là où ax+b 0 • (ax+b)' = a2ax+b là où ax+b > 0 Ces formules se combinent avec les règles opératoires de Première : (u+v)' = u'+v', (ku)' = ku', (uv)' = u'v + uv' et (u/v)' = u'v - uv'/v^2. 3. Lien avec les primitives 1. Lue à l'envers, la formule donne : pour a 0, une primitive de x g'(ax+b) est x 1/a\,g(ax+b). 2. Exemple : une primitive de (2x+1)^3 est 1/2 (2x+1)^4/4 = (2x+1)^4/8. 3. Vérification : ((2x+1)^4/8)' = 4 2\,(2x+1)^3/8 = (2x+1)^3. 4. Attention Le facteur a ne s'oublie jamais : (e^-x)' = -e^-x et non e^-x. Inutile de développer : ((3x+4)^5)' = 15(3x+4)^4 s'obtient en une ligne, alors que le développement de (3x+4)^5 compte six termes.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles