Primitives de la forme u'(x) e^u(x)

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À retenir

• Une primitive de u'e^u est e^u, car (e^u)' = u'e^u. • Pour k réel, une primitive de k\,u'e^u est k\,e^u. • Cas u(x) = ax + b : on retrouve 1/ae^ax+b.

Le cours

Forme exponentielle composée u' e^u Par la règle de dérivation des fonctions composées, (e^u(x))' = u'(x) e^u(x). Par conséquent, toute fonction de la forme f(x) = u'(x) e^u(x) admet pour primitives : F(x) = e^u(x) + C Identification • u(x) est l'argument placé en exposant. • Le facteur multiplicatif devant l'exponentielle doit être égal à u'(x) (à une constante près). Exemple avec coefficient ajusté Pour f(x) = x e^x^2 : l'exposant est u(x) = x^2, de dérivée u'(x) = 2x. On écrit f(x) = 1/2(2x e^x^2) F(x) = 1/2e^x^2 + C. Cas particuliers • Si u(x) = ax + b, alors u' = a et l'on retrouve : une primitive de e^ax+b est 1/ae^ax+b. • Avec u(x) = (x) : une primitive de -(x)\,e^(x) est e^(x), car (e^(x))' = -(x)\,e^(x). Attention Le facteur devant l'exponentielle doit être proportionnel à u'. Ni x^2e^x ni e^x^2 seul ne sont de cette forme. La fonction e^x^2, continue, admet des primitives, mais aucune ne s'exprime avec les fonctions usuelles.

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