Primitives de la forme u'(x)u(x)

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Si u est dérivable et strictement positive sur I, une primitive de u'u est 2u. • Pour k réel, une primitive de ku'u est 2ku.

Le cours

Forme avec racine carrée au dénominateur Comme (u)' = u'2u, on déduit en multipliant par 2 que pour toute fonction u strictement positive et dérivable sur un intervalle I : f(x) = u'(x)u(x) F(x) = 2u(x) + C Règle du facteur 2 • La dérivée de u fait apparaître un dénominateur 2. • Donc la primitive de u'u fait apparaître un coefficient 2 au numérateur : 2u. Exemple avec coefficient Pour f(x) = xx^2+1 : u(x) = x^2+1, u'(x) = 2x. f(x) = 1/2 2xx^2+1 F(x) = 1/2(2x^2+1) = x^2+1 + C. Attention La racine doit contenir exactement la fonction u dont la dérivée figure au numérateur, et il faut u > 0 sur l'intervalle (en un point où u = 0, le quotient n'est pas défini). Contre-exemple : 1x^2+1 n'est pas de la forme u'u, car il manque le facteur 2x au numérateur.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles