Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale
À retenir
Solutions de (E) : y' = ay + f(x) = (solutions de y'=ay) + (une solution particulière y_p). C'est le principe fondamental de superposition.
Le cours
Principe général de superposition Pour résoudre une équation différentielle linéaire avec second membre quelconque (E) : y' = ay + f(x) : 1. On résout l'équation homogène associée (E_0) : y' = ay, dont les solutions sont y_0(x) = C e^ax. 2. On détermine une solution particulière y_p de (E) (souvent affine si f est affine). 3. Les solutions générales de (E) sont obtenues par somme : y(x) = C e^ax + y_p(x). Cas d'un second membre polynomial Si le second membre est un polynôme de degré 1 (mx + p), on cherche une solution particulière sous forme affine y_p(x) = x + . On identifie les coefficients par dérivation et substitution. Théorème d'équivalence y est solution de (E) (y - y_p) est solution de (E_0) : y' = ay.
Dans ce chapitre
- Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
- Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
- Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
- Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
- Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
- Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
- Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
- Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
- Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
- Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
- Primitives de la forme u'(x)/u(x)
- Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
- Primitives de la forme u'(x)u(x)
- Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
- Introduction aux équations différentielles et notion de solution
- Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
- Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
- Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
- Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
- Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
- Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
- Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles