Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x

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À retenir

• Une primitive de k est kx ; une primitive de x^n (n N) est x^n+1n+1. • Une primitive de 1/x^n (n 2) est -1(n-1)x^n-1, sur ]-\,;\,0[ ou sur ]0\,;\,+[. • Sur ]0\,;\,+[ : une primitive de 1/x est (x) et une primitive de 1x est 2x.

Le cours

Tableau des primitives usuelles (algébriques) Les formules de primitives des fonctions de base s'obtiennent par lecture inverse du tableau des dérivées usuelles. Constantes et puissances entières • f(x) = k F(x) = kx + C • f(x) = x F(x) = 1/2x^2 + C • f(x) = x^n (n N) F(x) = 1/n+1x^n+1 + C L'exposant augmente de 1, et on divise par le nouvel exposant. Puissances négatives et inverse • f(x) = 1/x^2 F(x) = -1/x + C • f(x) = 1/x^n (n 2) F(x) = -1(n-1)x^n-1 + C • f(x) = 1/x sur ]0, +[ F(x) = (x) + C Méthode : réécrire avant de chercher une primitive • 3/x^4 = 3x^-4, d'où la primitive 3 x^-3-3 = -1/x^3 sur ]0\,;\,+[. • x^2 + 1/x^2 = 1 + 1/x^2, d'où la primitive x - 1/x sur ]0\,;\,+[. • Comme (x)' = 12x, une primitive de 1x sur ]0\,;\,+[ est 2x. Attention aux intervalles La formule x^n+1n+1 ne s'applique pas pour n = -1 : une primitive de 1/x sur ]0\,;\,+[ est (x). Les primitives de 1/x^n (n 2) se cherchent sur ]-\,;\,0[ ou sur ]0\,;\,+[, jamais sur R tout entier, car 0 est une valeur interdite.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles