Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs

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À retenir

• Si F et G sont des primitives de f et g sur I, alors F + G est une primitive de f + g. • Une constante multiplicative se conserve : une primitive de kf est kF. • Ajustement : si f ne diffère d'une forme connue que d'un facteur constant, on multiplie et on divise par ce facteur.

Le cours

Propriété de linéarité La dérivation étant une opération linéaire, la recherche de primitives l'est également : si F est une primitive de f et G une primitive de g sur I, alors pour tous réels et , F + G est une primitive de f + g. Somme et multiplication • Primitive de f + g : F + G • Primitive de k f (k R) : k F On traite chaque terme indépendamment dans une somme de monômes ou d'exponentielles. Méthode de la constante ajustée Si l'expression à intégrer est k u'(x) g(u(x)), on multiplie et divise par la constante manquante pour faire apparaître la forme exacte du cours. Exemples d'ajustement • ((3x))' = 3(3x), donc (3x) = 1/3((3x))' : une primitive de (3x) est 1/3(3x). • Un quotient se décompose parfois en somme : x^2 + 3/x = x + 3/x sur ]0\,;\,+[, d'où la primitive x^2/2 + 3(x). Pas de règle pour un produit La linéarité concerne les sommes et les multiplications par une constante. Pour un produit f g, on développe, on reconnaît une forme composée (u'u^n, u'e^u…) ou on ajuste un coefficient ; écrire F G est faux (voir l'exemple 3).

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles