Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b

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À retenir

• Une primitive de e^x sur R est e^x. • Pour a 0, une primitive de e^ax+b est 1/ae^ax+b ; par exemple, une primitive de e^-x est -e^-x.

Le cours

Primitives de fonctions exponentielles La fonction exponentielle standard est sa propre primitive. Lorsque l'exposant est une fonction affine ax+b (avec a 0), l'ajustement du coefficient conduit à diviser par a. Formule fondamentale Pour tout réel a 0 et tout réel b : f(x) = e^ax+b F(x) = 1/a e^ax+b + C Exemples usuels • e^-x -e^-x + C • e^2x 1/2e^2x + C • e^-3x+1 -1/3e^-3x+1 + C Méthode en trois temps 1. Lire a et b dans l'exposant ; 2. diviser par a ; 3. dériver pour vérifier. Exemple : f(x) = 6e^3x-2. Ici a = 3, donc F(x) = 6 1/3e^3x-2 = 2e^3x-2, et F'(x) = 2 3e^3x-2 = 6e^3x-2. Attention • La division par a ne vaut que pour un exposant affine : diviser e^x^2 par 2x ne donne pas une primitive (voir l'exemple 3). • e^5 est une constante : une primitive de x e^5 est x e^5x, et non e^5.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles