Primitives de la forme u'(x) u(x)^n

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À retenir

• Pour n Z, n -1 : une primitive de u'u^n est u^n+1n+1 (avec u ne s'annulant pas sur l'intervalle si n < 0). • Cas n = -2 : une primitive de u'/u^2 est -1/u. • Cas n = -1 exclu : une primitive de u'/u s'exprime avec .

Le cours

Forme de composition u' u^n La dérivée de la puissance d'une fonction est (u^n+1)' = (n+1) u' u^n. En inversant cette relation, pour tout entier n 1 (ou n Z\-1\ sur un intervalle où u ne s'annule pas) : f(x) = u'(x) u(x)^n F(x) = 1/n+1 u(x)^n+1 + C Reconnaissance de la forme 1. Identifier l'expression intérieure u(x) élevée à la puissance n. 2. Calculer u'(x). 3. Vérifier que le facteur multiplicatif présent dans f(x) est exactement égal à u'(x) (ou à une constante près). Cas des puissances négatives Pour f(x) = u'(x)/u(x)^2 = u'(x) u(x)^-2 : F(x) = -1/u(x) + C Attention : vérifier la présence de u' (x^2+1)^3 seul n'est pas de la forme u'u^n : il manque le facteur 2x. On développe alors : (x^2+1)^3 = x^6 + 3x^4 + 3x^2 + 1, d'où la primitive x^7/7 + 3x^5/5 + x^3 + x. Le cas n = -1 est exclu : u'/u relève du logarithme.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles