Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Si f est continue sur un intervalle I, pour tous x_0 I et y_0 R, il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(x_0) = y_0. • On écrit F(x) = F_0(x) + C, puis C = y_0 - F_0(x_0).

Le cours

Théorème d'existence et d'unicité Soit f une fonction continue sur un intervalle I, x_0 I et y_0 R. Il existe une unique primitive F de f sur I vérifiant la condition initiale : F(x_0) = y_0 Méthode pas-à-pas 1. Trouver l'ensemble des primitives sous la forme générale F(x) = F_0(x) + C. 2. Écrire l'équation issue de la condition initiale : F_0(x_0) + C = y_0. 3. Résoudre pour déterminer la constante : C = y_0 - F_0(x_0). 4. Conclure avec l'expression explicite de F(x). Interprétation graphique Les courbes des primitives de f se déduisent les unes des autres par translation verticale ; une seule d'entre elles passe par le point donné M_0(x_0\,;\,y_0). Exemple rapide Primitive de f(x) = 2x sur R telle que F(3) = 4 : F(x) = x^2 + C, puis 9 + C = 4, donc C = -5 et F(x) = x^2 - 5. Vérification : F(3) = 9 - 5 = 4. Attention La condition porte sur F, pas sur f : écrire f(x_0) = y_0 est une erreur fréquente. Le point x_0 doit appartenir à l'intervalle I ; sur une réunion d'intervalles comme R^*, une seule condition ne fixe pas la constante sur chaque morceau.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles