Primitives de la forme u'(x)/u(x)

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À retenir

• Si u est dérivable et strictement positive sur l'intervalle I, une primitive de u'/u est (u). • Pour k réel, une primitive de ku'/u est k(u). • Si u < 0 sur I, une primitive de u'/u est (-u).

Le cours

Forme logarithmique u'/u D'après la dérivée de la fonction composée (u), pour toute fonction u dérivable et strictement positive sur un intervalle I : f(x) = u'(x)/u(x) F(x) = (u(x)) + C Condition de signe • Si u(x) > 0 sur I : F(x) = (u(x)) + C. • Si u(x) Ajustement de coefficient Pour x/x^2+1, on remarque que la dérivée du dénominateur est 2x. On fait apparaître le 2 : x/x^2+1 = 1/2 2x/x^2+1 F(x) = 1/2(x^2+1). Méthode de reconnaissance 1. Repérer le dénominateur u(x) ; 2. calculer u'(x) ; 3. comparer le numérateur à u'(x) : égal (primitive (u)), proportionnel (k\,u' donne k(u)), ou sans rapport (la forme ne s'applique pas). Exemple : 3x^2/x^3 + 8 sur ]-2\,;\,+[ : u'(x) = 3x^2 et x^3 + 8 > 0, donc une primitive est (x^3 + 8). Contre-exemple : 1/x^2 + 1 n'est pas de la forme u'/u, car 1 n'est pas proportionnel à 2x.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles