Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

• Les solutions sur R de y' = ay sont les fonctions x Ce^ax, avec C R. • Une solution non nulle ne s'annule jamais et garde le signe de C.

Le cours

Théorème fondamental de l'équation y' = ay Soit a un nombre réel donné. L'équation différentielle (E_0) : y' = ay admet pour solutions sur R l'ensemble des fonctions de la forme : f(x) = C e^ax où C est une constante réelle quelconque. Démonstration Soit f une solution de y' = ay. Posons g(x) = f(x)e^-ax. g'(x) = f'(x)e^-ax - a f(x)e^-ax = (f'(x) - a f(x))e^-ax = 0. Comme g' = 0 sur R, g est constante égale à C. Donc f(x) = C e^ax. Sens de variation des solutions • Si a > 0 et C > 0 : croissance exponentielle. • Si a 0 : décroissance exponentielle vers 0. • Si C = 0 : solution nulle f(x) = 0. Signe et variations des solutions Une solution y = Ce^ax a le signe de C et sa dérivée y' = aCe^ax a le signe de aC : la solution est croissante si aC > 0, décroissante si aC < 0. Exemple : y = -2e^3x est négative et décroissante. Pour y' + 3y = 0, on isole y' : y' = -3y, donc a = -3 et les solutions sont Ce^-3x.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles