Modélisation de la loi de refroidissement de Newton

Terminale générale Spé · Mathématiques Spé Terminale

À retenir

Loi de Newton : T'(t) = -k(T(t) - T_ext) T(t) = (T_0 - T_ext)e^-kt + T_ext. En +, la température tend vers T_ext.

Le cours

Loi phénoménologique de Newton La loi de refroidissement de Newton stipule que le taux de variation de la température T(t) d'un corps est proportionnel à la différence entre sa température et celle du milieu ambiant T_ext : dT/dt = -k(T(t) - T_ext) où k > 0 est une constante dépendant des propriétés thermiques du corps et de sa surface. Forme différentielle standard L'équation s'écrit T' = -k T + k T_ext, qui est de la forme y' = ay + b avec a = -k Comportement asymptotique Comme k > 0, _t + e^-kt = 0. Par conséquent, _t + T(t) = T_ext : la température du corps se stabilise asymptotiquement à la température de la pièce.

Dans ce chapitre

• Tableau des dérivées des fonctions usuelles et opérations de dérivation de Première
• Dérivation de la fonction exponentielle et dérivation de e^ax+b de Première
• Définition d'une primitive d'une fonction continue sur un intervalle
• Dérivation en chaîne des fonctions composées u(ax+b) et opérations de Première
• Ensemble des primitives d'une fonction et constante d'intégration C
• Primitives des fonctions usuelles : constantes, puissances x^n et inverse 1/x
• Primitives des fonctions trigonométriques (x) et (x)
• Primitives de l'exponentielle e^x et de e^ax+b
• Détermination de la primitive unique vérifiant une condition initiale F(x_0) = y_0
• Primitives de la forme u'(x) u(x)^n
• Primitives de la forme u'(x)/u(x)
• Primitives de la forme u'(x) e^u(x)
• Primitives de la forme u'(x)u(x)
• Linéarité des primitives et ajustement de coefficients multiplicateurs
• Introduction aux équations différentielles et notion de solution
• Équation différentielle linéaire homogène y' = ay : solutions générales C e^ax
• Équation y' = ay : solution unique vérifiant une condition initiale y(x_0) = y_0
• Équation différentielle avec second membre constant y' = ay + b
• Équation y' = ay + f(x) avec solution particulière donnée ou affine
• Modélisation de la loi de refroidissement de Newton
• Modélisation de la décroissance radioactive et de la dynamique des populations
• Bilan : Synthèse et méthode sur Primitives et équations différentielles