Appartenance et inclusion

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• x A : l'élément x appartient à l'ensemble A (un élément, un ensemble). • A B : tout élément de A appartient à B (deux ensembles). • A = B A B et B A (double inclusion). • Pour tout ensemble A : A et A A.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un ensemble est une collection d'objets mathématiques appelés éléments. - **Appartenance** : Si un élément x fait partie de l'ensemble A, on note x A. Sinon, on note x A. - **Inclusion** : Un ensemble A est inclus dans un ensemble B (noté A B) si tout élément de A appartient également à B : x, (x A x B). Dans ce cas, A est un sous-ensemble ou une partie de B. ### 2. Propriétés de l'inclusion - Tout ensemble est inclus dans lui-même (A A) et l'ensemble vide est inclus dans tout ensemble ( A). - **Transitivité** : si A B et B C, alors A C. Par exemple N Z et Z Q donnent N Q. - **Égalité de deux ensembles** : A = B (A B et B A) ; c'est la méthode de la double inclusion. - Un ensemble à n éléments possède 2^n parties ; l'ensemble de ses parties se note P(A). ### 3. Méthode - Pour **démontrer** A B : on prend un élément quelconque x de A et on prouve que x B. - Pour **réfuter** A B : il suffit d'exhiber un seul élément de A qui n'appartient pas à B. - Mini-exemple : A = \x R 1 x 2\ et B = \x R x^2 4\. Si 1 x 2, alors x est positif et x^2 4, donc A B. En revanche -1 B et -1 A, donc B A.

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