Variables et quantification

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• : « pour tout » ; : « il existe au moins un ». • La négation de « x, P(x) » est « x, P(x) », et inversement. • Réfuter un « pour tout » : un contre-exemple ; prouver un « il existe » : un exemple. • L'ordre des quantificateurs change le sens de la phrase.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Les quantificateurs précisent la portée d'une propriété P(x) sur un ensemble E : - **Quantificateur universel** (« pour tout » ou « quel que soit ») : x E, P(x) est vraie si P(x) est vérifiée par TOUS les éléments de E. - **Quantificateur existentiel** (« il existe au moins un ») : x E, P(x) est vraie dès qu'au moins un élément vérifie P(x). *Règle de négation* : ( x E, P(x)) x E, P(x) ( x E, P(x)) x E, P(x) ### 2. Prouver ou réfuter une proposition quantifiée - **Prouver** « x E, P(x) » : démonstration valable pour un x quelconque ; des exemples ne suffisent pas. - **Réfuter** « x E, P(x) » : un seul contre-exemple. - **Prouver** « x E, P(x) » : exhiber un élément qui convient (par exemple x = 2 vérifie x^2 = 4). - **Réfuter** « x E, P(x) » : démontrer que P(x) est fausse pour tout x de E. - L'ensemble E compte : « x N, 2x = 3 » est fausse, alors que « x R, 2x = 3 » est vraie (x = 1,5). ### 3. Méthode pour écrire une négation 1. Remplacer chaque par et chaque par , en gardant l'ordre. 2. Nier la propriété finale (< devient , « et » devient « ou »). - Mini-exemple : la négation de « n N, n^2 n » est « n N, n^2 < n ». La proposition de départ est vraie, car n^2 - n = n(n - 1) 0 pour tout entier naturel n.

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