Ensemble vide et complémentaire

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• ne contient aucun élément et E pour tout ensemble E. • A = \x E x A\ dépend de l'univers E. • A A = E, A A = et A = A. • Si E est fini : Card(A) = Card(E) - Card(A).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental L'**ensemble vide**, noté ou \\, est l'unique ensemble ne contenant aucun élément. Pour tout ensemble E, on a E. Soit A un sous-ensemble d'un ensemble de référence E. Le **complémentaire** de A dans E, noté A ou E A, est l'ensemble des éléments de E qui n'appartiennent pas à A : A = \x E x A\ ### 2. Propriétés du complémentaire (univers E fixé) - A A = E et A A = : A et A partagent E en deux parties disjointes. - A = A, E = et = E. - Si E est fini : Card(A) = Card(E) - Card(A). - **Lois de De Morgan** : A B = A B et A B = A B. - Si A B, alors B A : le passage au complémentaire inverse l'inclusion. ### 3. Méthode et mini-exemple - Fixer d'abord l'univers E, puis traduire « x A » par « x E et x A ». - Dans E = N, le complémentaire de l'ensemble des entiers pairs est l'ensemble des entiers impairs. - Même partie, univers différent : le complémentaire de \1, 2\ vaut \3, 4\ dans E = \1, 2, 3, 4\, mais \3\ dans E = \1, 2, 3\.

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