Tableau de signes d'expressions affines et produits

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• ax + b s'annule en -b/a ; il a le signe de a à droite et celui de -a à gauche. • Une ligne par facteur, racines rangées dans l'ordre croissant. • Produit : nombre pair de signes - donne +, nombre impair donne -.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental - Une fonction affine f(x) = ax + b (a 0) s'annule en x = -b/a. Elle est du **signe de a après sa racine** (à droite) et du signe opposé avant. - Pour étudier le signe d'un produit ou d'un quotient P(x) = (ax + b)(cx + d) : 1. Déterminer les racines de chaque facteur. 2. Dresser un **tableau de signes** avec une ligne par facteur. 3. Appliquer la **règle des signes** pour conclure sur la dernière ligne. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé Signe de l'expression affine f(x) = ax + b (cas a > 0) x y y = ax + b -b/a - + x -∞ -b/a +∞ ax + b - 0 + Règle : signe de −a avant la racine −b/a, 0 en −b/a, signe de a après. ### 3. Construire un tableau de signes 1. Résoudre ax + b = 0 pour chaque facteur et ranger les racines dans l'ordre croissant sur la ligne des x. 2. Une ligne par facteur : 0 sous sa racine, signe de -a à gauche, signe de a à droite. 3. Dernière ligne : règle des signes colonne par colonne (un nombre pair de signes - donne +), avec un 0 là où un facteur s'annule. 4. Lire la réponse : crochets fermés aux racines pour ou , ouverts pour > ou <. - Un facteur toujours positif, comme x^2 + 1, ne change pas le signe du produit. - Mini-exemple : x(x - 2) est négatif seulement entre ses racines 0 et 2, positif à l'extérieur.

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