Implication, réciproque et contraposée

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• P Q n'est fausse que si P est vraie et Q fausse. • Réciproque : Q P, qui peut être fausse même si P Q est vraie. • Contraposée : Q P, de même valeur de vérité que P Q. • Un contre-exemple vérifie l'hypothèse P sans vérifier la conclusion Q.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient P et Q deux propositions. - **Implication** P Q (« Si P, alors Q ») : fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse. - **Réciproque** : l'implication Q P. - **Contraposée** : l'implication Q P. *Théorème fondamental* : Une implication et sa contraposée sont **logiquement équivalentes** : (P Q) ( Q P) ### 2. Propriétés et vocabulaire - P Q se lit aussi « P entraîne Q » ; elle est vraie dès que P est fausse. - Une implication vraie peut avoir une réciproque fausse : « si x = 2, alors x^2 = 4 » est vraie, sa réciproque « si x^2 = 4, alors x = 2 » est fausse (x = -2). - Si une implication et sa réciproque sont vraies toutes les deux, on obtient une équivalence P Q. - La négation de P Q est « P et Q » : c'est exactement ce que fournit un contre-exemple. ### 3. Méthode 1. Écrire clairement l'hypothèse P et la conclusion Q. 2. Réciproque : échanger hypothèse et conclusion. Contraposée : les échanger **et** les nier. 3. Démontrer par contraposée : supposer Q, puis aboutir à P. - Mini-exemple : la contraposée de « si un entier se termine par 0, il est divisible par 5 » est « si un entier n'est pas divisible par 5, il ne se termine pas par 0 ».

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