Bilan : Synthèse et méthode sur Ensembles, logique et calcul algébrique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Règle d'or : Pour réfuter une proposition universelle (« pour tout x »), UN SEUL contre-exemple suffit. • Pour prouver une équivalence P Q, on doit démontrer deux implications : le sens direct (P Q) et la réciproque (Q P). • Contraposée : P Q est rigoureusement équivalent à (non Q) (non P).

Le cours

Ce bilan récapitule les réflexes du chapitre : vocabulaire des ensembles, connecteurs logiques et modes de raisonnement, calcul algébrique et évolutions en pourcentage. 🧭 Carte de décision : Quel raisonnement choisir face à une proposition ? 1. Prouver qu'une proposition universelle est FAUSSE Exhiber un contre-exemple (un seul suffit !). 2. Démontrer une implication P Q Raisonnement direct : supposer P vrai et déduire Q par étapes logiques. 3. Si la démonstration directe est bloquée Raisonner par contraposée : prouver que (non Q) (non P). 4. Si la propriété dépend d'un cas (parité, signe…) Raisonner par disjonction de cas (ex : cas x 0 puis x 5. Pour prouver une impossibilité Raisonner par l'absurde : supposer le contraire et aboutir à une contradiction mathématique. Tableau de synthèse des connecteurs logiques Connecteur Signification Négation logique P et Q Vrai si les deux sont vrais simultanément. (non P) ou (non Q) P ou Q Vrai si au moins l'un des deux est vrai (inclusif). (non P) et (non Q) x E, P(x) « Pour tout x », propriété universelle. x E, non P(x) Ensembles et intervalles : les réflexes relie un élément à un ensemble, relie deux ensembles ; l'égalité A = B se prouve par double inclusion. A B traduit « et », A B traduit « ou » (inclusif) ; Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B). Sur une droite graduée, l'intersection d'intervalles est la zone colorée deux fois ; du côté de l'infini, le crochet est toujours ouvert. Calcul algébrique : développer ou factoriser ? Pour résoudre une équation : tout passer dans un membre, factoriser, puis appliquer la règle du produit nul. Pour résoudre une inéquation : comparer à 0, factoriser ou réduire au même dénominateur, puis dresser un tableau de signes (double barre aux valeurs interdites). Pour réduire ou comparer deux expressions : développer et ordonner. Ne jamais diviser par une expression qui peut s'annuler, ni multiplier une inéquation par une expression de signe inconnu. Évolutions en pourcentage V_F = V_I CM avec CM = 1 + t ; pour retrouver V_I, on divise par CM. Évolutions successives : on multiplie les coefficients ; évolution réciproque : CM' = 1/CM. Exemple : +20\ \% puis -10\ \% donnent 1,2 0,9 = 1,08, soit +8\ \% et non +10\ \%.

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