Factoriser une expression algébrique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Facteur commun : ka + kb = k(a + b), en priorité. • a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 et a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2. • a^2 - b^2 = (a - b)(a + b). • On vérifie toujours en redéveloppant.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental **Factoriser** consiste à transformer une somme en produit : 1. **Par facteur commun** : #7c3aedk#2563eba + #7c3aedk#d97706b = #7c3aedk(#2563eba + #d97706b). Le facteur commun peut être un nombre, une lettre ou une parenthèse complète. 2. **Par identité remarquable** : - a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 - a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2 - #2563eba^2 - #d97706b^2 = (#2563eba - #d97706b)(#2563eba + #d97706b) (différence de deux carrés). ### 2. Méthode pour factoriser 1. Chercher un **facteur commun** (nombre, x, parenthèse entière), au besoin après avoir fait apparaître un signe : 2 - x = -(x - 2). 2. Sinon, reconnaître une **identité remarquable** : trois termes dont deux carrés donnent (a b)^2 ; deux carrés séparés par un signe - donnent (a - b)(a + b). 3. Réduire chaque facteur, puis factoriser encore si possible : 4x + 2 = 2(2x + 1). 4. Contrôler en redéveloppant ou en testant une valeur. - Mini-exemple : x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2 car 25 = 5^2 et 10x = 2 x 5. - Faire apparaître le facteur : 3(x - 2) + x(2 - x) = 3(x - 2) - x(x - 2) = (x - 2)(3 - x).

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