Ensembles de nombres

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• N Z D Q R. • D : écriture décimale finie ; Q : écriture décimale finie ou périodique. • Rationnel + irrationnel = irrationnel (exemple : 1 + 2 Q). • Deux irrationnels peuvent avoir une somme rationnelle : 3 + (2 - 3) = 2.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Les ensembles usuels de nombres forment la chaîne d'inclusions : N Z D Q R - N : entiers naturels (\0, 1, 2, \). - Z : entiers relatifs (\, -2, -1, 0, 1, 2, \). - D : décimaux (s'écrivent a/10^n avec a Z, n N, écriture décimale finie). - Q : rationnels (quotients a/b avec a Z, b N^*). - R : réels (tous les points de la droite graduée, y compris les irrationnels , 2). ### 2. Propriétés - Notations : N^*, Z^*, R^* (on retire 0) ; R_+ = [0 ; +[ et R_- = ]- ; 0]. - Une fraction irréductible a/b est décimale si et seulement si b n'a pas d'autre facteur premier que 2 et 5. - Un réel est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique à partir d'un certain rang. - La somme et le produit de deux rationnels sont rationnels. La somme d'un rationnel et d'un irrationnel est irrationnelle ; en revanche, la somme de deux irrationnels peut être rationnelle : 2 + (-2) = 0. ### 3. Méthode pour classer un nombre 1. Simplifier l'écriture : fractions, racines carrées (a b = ab pour a, b 0), identités remarquables. 2. Tester dans l'ordre N, Z, D, Q : le plus petit ensemble est le premier qui convient. 3. Pour un irrationnel (2, 3, , ou 1 + 2), le plus petit ensemble est R.

Dans ce chapitre