Ensembles fondamentaux de nombres et appartenance de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Chaîne d'inclusions** : N Z D Q R. • **Caractérisation des décimaux** : x D x = a/10^n avec a Z et n N. Une fraction irréductible a/b est décimale si et seulement si les seuls facteurs premiers de b sont 2 et 5. • **Symboles** : x E (x est un élément de E) ; A E (tous les éléments de A sont dans E).

Le cours

En classe de Seconde, les nombres sont classés dans des ensembles emboîtés selon leur nature : les entiers naturels N, les entiers relatifs Z, les décimaux D, les rationnels Q et les réels R. On note la chaîne d'inclusions fondamentale : N Z D Q R. Le symbole désigne l'appartenance d'un élément à un ensemble, tandis que désigne l'inclusion d'un ensemble dans un autre. N = \0 ; 1 ; 2 ; 3 ; \ : entiers naturels ; Z ajoute les entiers négatifs (-3 Z mais -3 N). D : nombres qui s'écrivent a/10^n avec a Z et n N, c'est-à-dire avec un nombre fini de chiffres après la virgule (-2,35 = -235/100). Q : quotients a/b avec a Z et b N^* ; leur écriture décimale est finie ou périodique (2/11 = 0,181818). R : abscisses de tous les points d'une droite graduée ; un réel qui n'est pas rationnel est dit irrationnel (2, 3, ). Méthode : pour trouver le plus petit ensemble contenant un nombre, on simplifie d'abord son écriture, puis on teste N, Z, D et Q dans cet ordre ; le premier ensemble qui convient est le bon.

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