Cardinal d'un ensemble fini et dénombrement

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Card(A) : nombre d'éléments distincts de A ; Card() = 0. • Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B). • Card(A B) = Card(A) Card(B) (choix successifs). • Card(A) = Card(E) - Card(A).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Le **cardinal** d'un ensemble fini A, noté Card(A) ou |A|, est le nombre d'éléments distincts qu'il contient. - Pour deux ensembles disjoints (A B = ) : Card(A B) = Card(A) + Card(B). - Formule générale du crible : Card(A B) = Card(A) + Card(B) - Card(A B). - Produit cartésien : Card(A B) = Card(A) Card(B). ### 2. Principes de dénombrement - **Principe additif** : si les objets se répartissent en groupes disjoints, le nombre total est la somme des effectifs des groupes. - **Principe multiplicatif** : une suite de k choix successifs offrant n_1, n_2, …, n_k possibilités donne n_1 n_2 n_k résultats. - **Passage au complémentaire** dans un univers fini E : Card(A) = Card(E) - Card(A), très utile pour compter « au moins un » ou « aucun ». - Un ensemble à n éléments possède 2^n parties. ### 3. Méthode 1. Nommer les ensembles en jeu (A, B, A B…). 2. Repérer les éléments comptés deux fois (intersection) ou les choix successifs (produit). 3. Contrôler avec un diagramme ou un tableau : la somme des zones doit redonner l'effectif total. - Mini-exemple : avec 3 entrées et 4 plats, on compose 3 4 = 12 menus « entrée + plat ».

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