Équations produit nul et résolution

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• A B = 0 A = 0 ou B = 0. • On se ramène à « = 0 », on factorise, puis on résout chaque facteur. • A/B = 0 A = 0 et B 0.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental *Propriété fondamentale du produit nul* : Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins l'un des facteurs est nul : A B = 0 A = 0 ou B = 0 Pour résoudre une équation de degré supérieur ou égal à 2 : 1. Tout transposer dans le membre de gauche pour obtenir = 0. 2. Factoriser le membre de gauche. 3. Appliquer la règle du produit nul. ### 2. Cas particuliers fréquents - **Équation A^2 = B^2** : A^2 - B^2 = 0 (A - B)(A + B) = 0. - **Équation x^2 = k** : si k > 0, deux solutions k et -k ; si k = 0, une seule solution 0 ; si k < 0, aucune solution réelle. - **Facteur commun caché** : x^2 = 5x x^2 - 5x = 0 x(x - 5) = 0, d'où S = \0 ; 5\. - **Équation quotient** : A/B = 0 A = 0 et B 0 ; on exclut d'abord les valeurs interdites. ### 3. Rédaction type On écrit : « Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul », puis une ligne par facteur, et enfin l'ensemble S entre accolades. - Mini-exemple : (x + 4)(7 - 2x) = 0 x = -4 ou x = 7/2, donc S = \-4 ; 7/2\.

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