Couples et produit cartésien

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Un couple est ordonné : (a, b) = (c, d) a = c et b = d. • A B = \(a, b) a A et b B\. • Card(A B) = Card(A) Card(B). • R^2 = R R : ensemble des coordonnées des points du plan.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un **couple** (x, y) est une liste ordonnée de deux éléments : (x, y) (y, x) dès que x y. Le **produit cartésien** A B est l'ensemble des couples dont la 1ère composante est dans A et la 2ème est dans B : A B = \(a, b) a A et b B\ Le plan cartésien est représenté par R R = R^2. ### 2. Propriétés - Égalité de deux couples : (a, b) = (c, d) a = c et b = d. - En général A B B A : (1, x) \1\ \x\ mais (1, x) \x\ \1\. - Si A et B sont finis : Card(A B) = Card(A) Card(B) ; en particulier Card(A^2) = Card(A)^2. - On généralise aux triplets : A B C = \(a, b, c) a A, b B, c C\. ### 3. Méthode et mini-exemple - Pour lister A B, on fixe la première composante et on fait défiler toutes les valeurs de la seconde (tableau à double entrée ou arbre). - Exemple : \0, 1\^2 = \(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)\ compte 2^2 = 4 couples. - Un couple de réels s'interprète comme les coordonnées d'un point du plan : (2, -1) et (-1, 2) sont deux points différents.

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