Propositions et connecteurs logiques

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• « P et Q » est vraie seulement si P et Q sont vraies toutes les deux. • « P ou Q » est vraie dès que l'une au moins est vraie (« ou » inclusif). • (P et Q) équivaut à P ou Q ; (P ou Q) équivaut à P et Q.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Une **proposition mathématique** P est une affirmation qui est soit vraie, soit fausse, mais pas les deux à la fois. - **Négation** non(P) ou P : vraie si P est fausse, fausse si P est vraie. - **Conjonction** P et Q : vraie si et seulement si P ET Q sont toutes les deux vraies. - **Disjonction** P ou Q : vraie dès qu'au moins l'une des deux propositions est vraie. Lois de De Morgan : (P et Q) ( P ou Q) et (P ou Q) ( P et Q). ### 2. Valeurs de vérité à connaître - « P et Q » n'est vraie que dans un seul des quatre cas : P vraie et Q vraie. - « P ou Q » n'est fausse que dans un seul des quatre cas : P fausse et Q fausse. - Double négation : ( P) a la même valeur de vérité que P. - Une phrase contenant une variable, comme « x > 2 », ne devient une proposition (vraie ou fausse) que lorsque x est fixé ou quantifié. ### 3. Méthode pour nier une proposition composée 1. Repérer le connecteur principal (« et » ou « ou »). 2. Échanger « et » et « ou » (lois de De Morgan). 3. Nier chaque morceau : la négation de x 10 » est « n est impair et n 10 ».

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