Intervalles de R et opérations

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Crochet tourné vers le nombre : borne incluse ; crochet tourné vers l'extérieur : borne exclue. • Du côté de - ou de +, le crochet est toujours ouvert. • I J est un intervalle (parfois vide) ; I J n'en est un que si I et J se chevauchent ou se touchent. • R \a\ = ]- ; a[ ]a ; +[.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un intervalle de R est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes : - [a ; b] = \x R a x b\ (intervalle fermé borné). - ]a ; b[ = \x R a a b Intervalle fermé [a ; b] ℝ x ∈ ℝ | a ≤ x ≤ b : a et b font partie de l'intervalle ### 3. Opérations sur les intervalles - **Intersection** de deux intervalles : c'est un intervalle, éventuellement vide. Sa borne gauche est la plus grande des bornes gauches, sa borne droite la plus petite des bornes droites ; une borne n'est incluse que si elle l'est dans les deux intervalles. - **Réunion** : c'est un intervalle seulement si les deux intervalles se chevauchent ou se touchent ; sinon on la laisse écrite avec , par exemple [0 ; 1] [3 ; 4]. - **Complémentaire dans R** : on retourne les crochets des bornes finies. [a ; b] = ]- ; a[ ]b ; +[ et ]- ; a] = ]a ; +[. - **Exclure un point** : R \a\ = ]- ; a[ ]a ; +[, ensemble de définition de x 1/x - a. ### 4. Méthode 1. Placer toutes les bornes sur une même droite graduée, avec leurs crochets. 2. Colorier chaque intervalle d'une couleur différente. 3. Lire la zone colorée deux fois () ou au moins une fois (), puis contrôler chaque borne une à une.

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