Équivalence logique et conditions

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• P Q signifie P Q et Q P. • Si P Q : P est une condition suffisante pour Q, Q une condition nécessaire pour P. • Élever au carré n'est pas une équivalence : on vérifie les solutions obtenues.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Deux propositions P et Q sont **équivalentes** (noté P Q) lorsqu'elles ont la même valeur de vérité : (P Q) (P Q et Q P) - **Condition suffisante** : Pour que Q soit vraie, il suffit que P soit vraie (P Q). - **Condition nécessaire** : Pour que P soit vraie, il faut obligatoirement que Q soit vraie (P Q). ### 2. Propriétés - Pour démontrer P Q : soit on prouve séparément P Q (sens direct) et Q P (réciproque), soit on enchaîne des équivalences justifiées. - Une transformation n'est une équivalence que si elle est réversible : ajouter un même nombre aux deux membres, ou les multiplier par un même nombre **non nul**, conserve les solutions ; élever au carré ne les conserve pas toujours. - Exemple : x = 3 x^2 = 9, mais x^2 = 9 (x = 3 ou x = -3). - Vocabulaire : « P si et seulement si Q » ; « pour que P, il faut et il suffit que Q ». ### 3. Méthode : nécessaire ou suffisante ? 1. Écrire l'implication vraie sous la forme P Q. 2. P est une condition **suffisante** pour Q ; Q est une condition **nécessaire** pour P. 3. Tester la réciproque : si elle est vraie aussi, la condition est nécessaire et suffisante. - Mini-exemple : « n est multiple de 4 » est suffisant pour « n est pair », mais pas nécessaire (6 est pair sans être multiple de 4).

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