Développer, réduire et identités remarquables

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 • (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 • (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 • (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd ; ne jamais oublier le double produit 2ab.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental - **Développer** : transformer un produit en somme en utilisant la distributivité : #7c3aedk(#2563eba + #d97706b) = #7c3aedk#2563eba + #7c3aedk#d97706b et (#2563eba + #d97706b)(#059669c + #7c3aedd) = #2563eba#059669c + #2563eba#7c3aedd + #d97706b#059669c + #d97706b#7c3aedd. - **Réduire** : regrouper les termes de même nature (x^2 avec x^2, x avec x, constantes ensemble). - **Identités remarquables** : 1. (#2563eba + #d97706b)^2 = #2563eba^2 + 2#2563eba#d97706b + #d97706b^2 2. (#2563eba - #d97706b)^2 = #2563eba^2 - 2#2563eba#d97706b + #d97706b^2 3. (#2563eba - #d97706b)(#2563eba + #d97706b) = #2563eba^2 - #d97706b^2 ### 2. Méthode pour développer et réduire 1. Repérer les identités remarquables avant de distribuer « à la main » : c'est plus rapide et plus sûr. 2. Garder entre parenthèses un produit précédé d'un signe - jusqu'au bout du développement : -(2x - 1)(x + 3) = -(2x^2 + 5x - 3) = -2x^2 - 5x + 3. 3. Réduire en regroupant les termes de même puissance de x, puis ordonner du plus haut degré au plus bas. 4. Contrôler en remplaçant x par une valeur simple (0 ou 1) dans les deux écritures. - Mini-exemple : (x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25 ; pour x = 1 : 6^2 = 36 et 1 + 10 + 25 = 36. - Calcul mental : 51^2 = (50 + 1)^2 = 2\,500 + 100 + 1 = 2\,601.

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