Évolutions successives et taux global

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• CM_g = CM_1 CM_2 CM_n. • t_g = CM_g - 1, jamais la somme des taux. • n évolutions de même taux t : CM_g = (1 + t)^n.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Lorsqu'une grandeur subit plusieurs évolutions successives de taux t_1, t_2, , t_n : - Les **coefficients multiplicateurs se multiplient** : CM_global = CM_1 CM_2 CM_n = (1 + t_1)(1 + t_2)(1 + t_n) - Le **taux d'évolution global** est alors : t_global = CM_global - 1 ### 2. Propriétés - Le taux global n'est **pas** la somme des taux : t_g = (1 + t_1)(1 + t_2) - 1 = t_1 + t_2 + t_1 t_2. - L'ordre des évolutions ne change pas le résultat (la multiplication est commutative) : +10\ \% puis -5\ \% équivaut à -5\ \% puis +10\ \%. - n évolutions identiques de taux t : CM_g = (1 + t)^n. Par exemple, trois hausses de 2\ \% donnent 1,02^3 = 1,061\,208, soit environ +6,12\ \%. ### 3. Méthode 1. Traduire chaque évolution en coefficient multiplicateur. 2. Multiplier les coefficients. 3. Retrancher 1 et convertir en pourcentage, en gardant le signe. - Mini-exemple : +10\ \% puis -5\ \% : 1,10 0,95 = 1,045, soit +4,5\ \%.

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