Définition de la probabilité conditionnelle

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• P_B(A) = P(A B)/P(B), définie seulement si P(B) > 0. • L'événement connu (« sachant que ») se place en indice et au dénominateur. • P_B est une probabilité : 0 P_B(A) 1 et P_B(A) = 1 - P_B(A). • En équiprobabilité : P_B(A) = issues de A Bissues de B.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soient A et B deux événements d'un univers , avec P(B) > 0. La **probabilité conditionnelle de l'événement A sachant que B est réalisé**, notée P_B(A) ou P(A B), est définie par : P_B(A) = P(A B)/P(B) P_B définit une nouvelle loi de probabilité sur , donc : - 0 P_B(A) 1 - P_B(A) = 1 - P_B(A) - P_B(B) = 1 ### 2. Méthode : repérer et calculer une probabilité conditionnelle - **Repérer la condition** : les expressions « sachant que », « parmi », « si l'on sait que » désignent l'événement réalisé ; il se place en indice, P_B(). - **Calculer** soit avec la formule P_B(A) = P(A B)/P(B), soit, en situation d'équiprobabilité, en restreignant l'univers à B : P_B(A) = nombre d'issues de A Bnombre d'issues de B. - **Contrôler** : le résultat est compris entre 0 et 1, et P_B(A) P(A B) puisqu'on divise par P(B) 1. ### 3. Mini-exemple Dans un club de 50 membres, 20 jouent au basket (B) et 8 d'entre eux nagent aussi (N). On choisit un membre au hasard : P_B(N) = 8/20 = 0,4, alors que P(B N) = 8/50 = 0,16.

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