Formule des probabilités totales

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Si A_1, , A_n forment une partition de : P(B) = P(A_1)P_A_1(B) + + P(A_n)P_A_n(B). • Cas usuel : P(B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B). • Sur un arbre : P(B) est la somme des probabilités des chemins qui mènent à B.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit A_1, A_2, , A_n une **partition de l'univers ** (des événements deux à deux disjoints de probabilités non nulles dont la réunion forme ). Pour tout événement B, la **formule des probabilités totales** s'écrit : P(B) = P(B A_1) + P(B A_2) + + P(B A_n) ou de manière développée avec les probabilités conditionnelles : P(B) = P(A_1)P_A_1(B) + P(A_2)P_A_2(B) + + P(A_n)P_A_n(B) Dans le cas usuel d'un événement A et de son contraire A (partition à 2 éléments) : P(B) = P(A) P_A(B) + P(A) P_A(B) ### 2. Méthode : calculer une probabilité totale - **Choisir la partition** : souvent A et A (premier niveau de l'arbre), ou plusieurs catégories A_1, , A_n dont les probabilités ont pour somme 1. - **Repérer tous les chemins** qui aboutissent à B et calculer la probabilité de chacun (produit des branches). - **Additionner** ces probabilités. P(B) est une moyenne des P_A_i(B) pondérée par les P(A_i) : elle est comprise entre la plus petite et la plus grande d'entre elles. ### 3. Mini-exemple Un élève vient en bus avec la probabilité 0,7, sinon à vélo. En bus, il arrive en retard (R) avec la probabilité 0,1 ; à vélo, avec la probabilité 0,2. Alors P(R) = 0,7 0,1 + 0,3 0,2 = 0,07 + 0,06 = 0,13, valeur bien comprise entre 0,1 et 0,2.

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