Notion de jeu équitable

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Jeu équitable E(X) = 0, où X est le gain algébrique (net) du joueur. • E(X) > 0 : jeu favorable au joueur ; E(X) < 0 : jeu défavorable au joueur. • La mise qui rend un jeu équitable est égale à l'espérance du montant reçu.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit X la variable aléatoire représentant le **gain algébrique** d'un joueur dans un jeu de hasard : - Si E(X) = 0 : le jeu est dit **équitable** (ni le joueur ni l'organisateur n'est avantagé à long terme). - Si E(X) > 0 : le jeu est dit **favorable au joueur** (le joueur gagne en moyenne E(X) euros par partie). - Si E(X) < 0 : le jeu est dit **défavorable au joueur** (ou favorable à l'organisateur/casino). Pour rendre un jeu équitable, on ajuste le montant de la mise ou la valeur des gains. ### 2. Méthode : étudier ou rendre un jeu équitable - **Définir le gain algébrique** X du joueur (montant reçu moins la mise) pour chaque issue, et en donner la loi. - **Calculer** E(X) et conclure selon son signe : nulle (jeu équitable), positive (favorable au joueur), négative (défavorable au joueur). - **Rendre le jeu équitable** : exprimer E(X) en fonction de l'inconnue (mise ou montant d'un lot), puis résoudre l'équation E(X) = 0. ### 3. Mini-exemple On mise 1\ € et l'on reçoit 2\ € si une pièce équilibrée tombe sur Pile, rien sinon. Le gain net vaut +1 ou -1 avec la probabilité 1/2 chacun, donc E(X) = 0 : le jeu est équitable.

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