Espérance mathématique

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_k p_k : moyenne des valeurs pondérée par leurs probabilités. • E(X) est comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de X, sans être forcément l'une d'elles. • Interprétation : moyenne des résultats sur un grand nombre de répétitions.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit X une variable aléatoire prenant les valeurs x_1, x_2, , x_k avec les probabilités p_1, p_2, , p_k. L'**espérance mathématique** de X, notée E(X), est la moyenne pondérée de toutes les valeurs possibles de X : E(X) = _i=1^k x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_k p_k **Interprétation concrète** : E(X) représente la valeur moyenne que l'on peut espérer obtenir par partie si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois. ### 2. Méthode : calculer et interpréter une espérance - **Écrire la loi** de X dans un tableau et vérifier que la somme des probabilités vaut 1. - **Multiplier** chaque valeur par sa probabilité, puis **additionner** (à la calculatrice : valeurs dans une liste, probabilités dans une autre, puis statistiques à une variable). - **Contrôler** : E(X) est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur de X. - **Interpréter** avec l'unité : sur un grand nombre de répétitions, on obtient en moyenne environ E(X) par expérience. ### 3. Mini-exemple Si X vaut 0, 10 ou 50 avec les probabilités 0,7 ; 0,25 et 0,05, alors E(X) = 0 + 2,5 + 2,5 = 5 : sur 1\,000 répétitions, on obtient environ 5\,000 au total.

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