Bilan : Synthèse et méthode sur Probabilités et variables aléatoires

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Probabilité conditionnelle : P_A(B) = P(A B)/P(A) (avec P(A) > 0). • Indépendance : Deux événements A et B sont indépendants si et seulement si P(A B) = P(A) P(B), ce qui équivaut à P_A(B) = P(B). • Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = a E(X) + b et V(aX + b) = a^2 V(X).

Le cours

Ce bilan rassemble les théorèmes clés des probabilités conditionnelles, la formule des probabilités totales sur un arbre pondéré, et les paramètres d'une variable aléatoire réelle. 🧭 Les 3 règles d'or des arbres pondérés Règle 1 (Somme des branches) : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est toujours égale à 1 (P_A(B) + P_A(B) = 1). Règle 2 (Probabilité d'un chemin) : La probabilité de l'intersection associée à un chemin est le produit des probabilités de chaque branche : P(A B) = P(A) P_A(B). Règle 3 (Formule des probabilités totales) : Si (A_1, A_2, , A_n) forme une partition de : P(B) = P(A_1 B) + P(A_2 B) + + P(A_n B) P(B) = P(A_1) P_A_1(B) + P(A_2) P_A_2(B) + + P(A_n) P_A_n(B) Variables aléatoires réelles : Espérance, Variance et Écart-type Loi de probabilité : Tableau associant à chaque valeur x_i prise par X sa probabilité p_i = P(X = x_i) avec p_i = 1. Espérance mathématique (valeur moyenne théorique) : E(X) = _i=1^k x_i p_i = x_1 p_1 + x_2 p_2 + + x_k p_k Variance et Écart-type : V(X) = _i=1^k p_i (x_i - E(X))^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 et (X) = V(X) Jeu équitable : Un jeu de hasard est dit équitable si l'espérance du gain algébrique est nulle : E(X) = 0. Indépendance : A et B sont indépendants si P(A B) = P(A) P(B) ; pour une succession d'épreuves indépendantes, la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches. Schéma de Bernoulli : n épreuves identiques et indépendantes à deux issues ; un chemin comportant k succès a pour probabilité p^k(1-p)^n-k. Échantillonnage : les moyennes d'échantillons de taille n fluctuent autour de E(X) ; dans environ 95\,\% des cas, l'écart est inférieur à 2n.

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