Propriétés de linéarité de l'espérance et variance

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Linéarité de l'espérance : E(aX + b) = aE(X) + b. • V(aX + b) = a^2 V(X) et (aX + b) = |a|\,(X). • La constante b décale les valeurs sans changer leur dispersion.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit X une variable aléatoire et soient a et b deux constantes réelles. Soit la variable transformée Y = aX + b. 1. **Linéarité de l'espérance** : E(aX + b) = a E(X) + b En particulier : E(X + b) = E(X) + b et E(aX) = a E(X). 2. **Transformation de la variance** : V(aX + b) = a^2 V(X) (Une constante additive b ne modifie pas la dispersion, elle décale seulement les valeurs). 3. **Transformation de l'écart type** : (aX + b) = |a| (X) ### 2. Méthode : changer d'unité ou de barème - **Écrire la nouvelle variable** sous la forme Y = aX + b en identifiant a (coefficient : prix unitaire, conversion d'unité…) et b (constante ajoutée : frais fixes, bonus…). - **Appliquer les formules** sans refaire la loi de Y : E(Y) = aE(X) + b, V(Y) = a^2 V(X) et (Y) = |a|\,(X). - **Contrôler** : la constante b déplace la moyenne mais ne modifie ni la variance ni l'écart type. ### 3. Mini-exemple Un glacier vend chaque jour X glaces, avec E(X) = 40 et (X) = 10. Il gagne 2\ € par glace et paie 30\ € de frais fixes par jour : son bénéfice B = 2X - 30 vérifie E(B) = 2 40 - 30 = 50\ € et (B) = 2 10 = 20\ €.

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