Arbre pondéré et coefficients binomiaux

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Un chemin à k succès parmi n épreuves a pour probabilité p^k (1-p)^n-k. • Le nombre de ces chemins est le coefficient binomial nk. • n0 = nn = 1, n1 = n et nk = nn-k.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental On représente un schéma de Bernoulli à n répétitions par un arbre binaire à n niveaux. - Chaque chemin menant à exactement k succès et (n - k) échecs possède la même probabilité : p^k (1 - p)^n - k - Le nombre de chemins distincts comportant exactement k succès parmi n répétitions est noté nk (lu « k parmi n ») : c'est le **coefficient binomial**. - **Valeurs remarquables** : n0 = 1, nn = 1, n1 = n, nn-1 = n - **Symétrie** : nk = nn-k - **Formule de Pascal** : nk = n-1k-1 + n-1k ### 2. Méthode : compter les chemins et calculer - **Compter les chemins** à k succès : pour n 4, on peut les lister sur l'arbre ; au-delà, on utilise nk (symétrie, triangle de Pascal, calculatrice). - **Probabilité de « exactement k succès »** : nombre de chemins multiplié par la probabilité d'un chemin, soit nk p^k (1-p)^n-k. - **Triangle de Pascal** : chaque coefficient est la somme des deux coefficients situés au-dessus de lui ; la ligne n = 4 est 1 ; 4 ; 6 ; 4 ; 1. ### 3. Mini-exemple On lance 4 fois une pièce équilibrée. Il y a 42 = 6 chemins à 2 Pile, chacun de probabilité (1/2)^4 = 1/16 : la probabilité d'obtenir exactement 2 Pile vaut 6/16 = 3/8.

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