Événements indépendants

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• A et B indépendants P(A B) = P(A) P(B). • Si P(B) > 0 : indépendance P_B(A) = P(A). • Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B, A et B le sont aussi.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Deux événements A et B sont dits **indépendants** si la réalisation de l'un n'influence pas la probabilité de l'autre. **Caractérisation fondamentale** : A et B sont indépendants P(A B) = P(A) P(B) Si P(B) > 0, cela équivaut à : P_B(A) = P(A) (ou P_A(B) = P(B)). **Propriété** : Si A et B sont indépendants, alors A et B, A et B, ainsi que A et B sont également indépendants. ### 2. Méthode : démontrer ou utiliser l'indépendance - **Tester** : calculer séparément P(A B) et P(A) P(B) ; les événements ne sont indépendants qu'en cas d'égalité exacte. - **Utiliser** : lorsque l'énoncé affirme l'indépendance (deux appareils qui fonctionnent séparément, deux lancers…), on peut multiplier : P(A B) = P(A) P(B). - **Interpréter** avec les probabilités conditionnelles : P_B(A) = P(A) signifie que savoir B réalisé ne change pas la probabilité de A. ### 3. Mini-exemple On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. Soit A : « tirer un As » (P(A) = 4/32 = 1/8) et C : « tirer un Cœur » (P(C) = 1/4). Comme P(A C) = 1/32 = 1/8 1/4, les événements A et C sont indépendants, sans être incompatibles.

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