Fluctuation d'échantillonnage et fréquences de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Fluctuation** : la fréquence observée f = k/n oscille autour de la probabilité théorique p. • **Intervalle de fluctuation de Seconde** (au seuil de 95\,\%, pour n 25 et 0,2 p 0,8) : I = [ p - 1n \; ; \; p + 1n ] • Lorsque la taille n de l'échantillon quadruple, la précision double (l'amplitude est divisée par 2).

Le cours

Lorsqu'on extrait un échantillon de taille n au sein d'une population, la proportion observée f varie d'un échantillon à un autre : c'est la fluctuation d'échantillonnage. En Seconde, on retient que, pour des échantillons de taille n, la fréquence observée f s'écarte de la proportion p d'au plus 1n dans environ 95\,\% des cas. On l'écrit avec l'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% : I = [p - 1n ; p + 1n]. En Première, ce résultat est précisé grâce à l'écart type d'une variable aléatoire : l'écart usuel devient 2n. Ce qu'il faut savoir La fréquence f = k/n dépend de l'échantillon tiré ; la proportion p de la population est fixe. L'amplitude 2n de l'intervalle ne dépend que de la taille n : elle diminue quand l'échantillon grandit. Méthode : prendre une décision 1. Vérifier les conditions d'usage : n 25 et 0,2 p 0,8. 2. Calculer l'intervalle I. 3. Calculer f : si f I, l'échantillon est compatible avec la proportion p ; si f I, on rejette l'hypothèse, avec un risque d'erreur d'environ 5\,\%. Exemple : une urne est censée contenir 30\,\% de boules rouges ; pour 400 tirages avec remise, 1400 = 0,05 et I = [0,25 ; 0,35]. Attention Une fréquence située dans l'intervalle ne prouve pas que p est la bonne valeur : elle montre seulement que l'écart observé peut s'expliquer par le hasard de l'échantillonnage.

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