Loi de probabilité d'une variable aléatoire

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• La loi de X associe à chaque valeur x_i la probabilité p_i = P(X = x_i). • Chaque p_i est comprise entre 0 et 1, et p_1 + p_2 + + p_k = 1. • On la présente dans un tableau à deux lignes : les valeurs, puis leurs probabilités.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Définir la **loi de probabilité** d'une variable aléatoire X, c'est associer à chaque valeur x_i X() la probabilité P(X = x_i) de l'événement « la variable X prend la valeur x_i ». On la présente généralement sous la forme d'un tableau : array|c|c|c|c|c| x_i & x_1 & x_2 & & x_k \\ P(X = x_i) & p_1 & p_2 & & p_k \\ array **Condition indispensable** : La somme de toutes les probabilités doit être strictement égale à 1 : _i=1^k p_i = p_1 + p_2 + + p_k = 1 ### 2. Méthode : établir une loi de probabilité - **Lister** les valeurs possibles x_1 < x_2 < < x_k de X. - **Calculer** chaque P(X = x_i) : par dénombrement en situation d'équiprobabilité, ou en additionnant les chemins d'un arbre qui donnent cette valeur. - **Présenter** le tableau, puis **vérifier** que la somme des probabilités vaut 1 ; une probabilité inconnue se déduit de cette condition. ### 3. Mini-exemple On tire une carte dans un jeu de 32 cartes ; X vaut 5 pour un As, 2 pour une figure (Roi, Dame, Valet) et 0 sinon. Alors P(X = 5) = 4/32 = 1/8, P(X = 2) = 12/32 = 3/8 et P(X = 0) = 16/32 = 1/2, de somme 1.

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