Échantillonnage et fluctuation

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Fréquence observée f = k/n : elle fluctue d'un échantillon à l'autre autour de p. • Les moyennes d'échantillons de taille n ont un écart type proche de n. • Dans environ 95\,\% des échantillons, l'écart entre la moyenne observée et ne dépasse pas 2n.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Soit un échantillon de taille N issu d'une expérience aléatoire où un événement A a une probabilité théorique p. La **fréquence observée** dans l'échantillon est : f = nombre de fois où A s'est réaliséN - D'un échantillon à un autre de même taille, la fréquence observée varie : c'est le phénomène de **fluctuation d'échantillonnage**. - Plus la taille N de l'échantillon est grande, plus l'amplitude de ces fluctuations diminue. ### 2. Écart type des moyennes d'échantillons On simule N échantillons de taille n d'une variable aléatoire X d'espérance et d'écart type , et l'on calcule la moyenne m de chaque échantillon. - Les moyennes m fluctuent autour de ; leur écart type est proche de n. - Dans environ 95\,\% des échantillons, l'écart entre m et est inférieur ou égal à 2n. - Pour une fréquence (succès codé 1, échec codé 0) : = p et = p(1-p) 0,5, donc 2n 1n : on retrouve la règle de Seconde. ### 3. Méthode et mini-exemple - Calculer la fréquence f observée, puis l'écart |f - p|. - Le comparer à 2n (ou à 1n) : un écart plus petit est une fluctuation ordinaire ; un écart nettement plus grand n'arrive que dans environ 5\,\% des échantillons et peut faire douter du modèle. Exemple : pour une pièce équilibrée (p = 0,5, = 0,5) lancée n = 2\,500 fois, 2n = 1/50 = 0,02 : dans environ 95\,\% des séries, on obtient entre 1\,200 et 1\,300 Pile.

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