Formule des probabilités composées

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• P(A B) = P(A) P_A(B) = P(B) P_B(A). • Trois événements : P(A B C) = P(A) P_A(B) P_A B(C). • Sans remise, chaque facteur tient compte des tirages déjà effectués.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental En multipliant par le dénominateur, la définition de la probabilité conditionnelle donne la **formule des probabilités composées** : P(A B) = P(B) P_B(A) = P(A) P_A(B) Cette formule permet de calculer la probabilité de l'intersection de deux événements lorsque les probabilités conditionnelles sont connues (par exemple le long des branches d'un arbre). ### 2. Méthode : calculer la probabilité d'une intersection - **Choisir l'ordre** : on écrit P(A B) = P(A) P_A(B) lorsque l'énoncé donne la probabilité de B « sachant A », et P(B) P_B(A) dans le cas inverse. - **Tirages successifs sans remise** : à chaque tirage, on met à jour la composition de l'urne (une boule de moins, et une de moins de la couleur tirée), puis on multiplie. - **Trois événements** : P(A B C) = P(A) P_A(B) P_A B(C). - **Retrouver une donnée** : si P(A B) et P(A) sont connues, P_A(B) = P(A B)/P(A). ### 3. Mini-exemple 40\,\% des élèves d'un lycée sont demi-pensionnaires et, parmi eux, 75\,\% prennent un dessert. La probabilité qu'un élève choisi au hasard soit demi-pensionnaire et prenne un dessert vaut 0,4 0,75 = 0,3.

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