Variance et écart type

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• V(X) = p_i (x_i - E(X))^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 (formule de König-Huygens). • (X) = V(X), dans la même unité que X. • V(X) 0, et V(X) = 0 seulement si X ne prend qu'une seule valeur.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental La **variance** et l'**écart type** mesurent la dispersion des valeurs de la variable aléatoire autour de son espérance E(X) : 1. **Variance** : moyenne des carrés des écarts à l'espérance : V(X) = _i=1^k p_i (x_i - E(X))^2 2. **Formule de König-Huygens** (plus rapide pour le calcul) : V(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = (_i=1^k p_i x_i^2) - (E(X))^2 3. **Écart type** : racine carrée positive de la variance (dans la même unité que X) : (X) = V(X) La variance est toujours positive ou nulle (V(X) 0). ### 2. Méthode : calculer et interpréter variance et écart type - **Calculer** d'abord E(X). - **Choisir la formule** : avec les écarts (x_i - E(X))^2 si E(X) est un nombre simple ; sinon avec la formule de König-Huygens, en calculant E(X^2) = p_i x_i^2. - **Prendre la racine carrée** pour obtenir (X), qui s'exprime dans la même unité que X (la variance est dans l'unité au carré). - **Interpréter** : plus (X) est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de E(X) ; à espérances égales, un écart type plus grand signale un jeu ou un placement plus risqué. ### 3. Mini-exemple X vaut 1 ou 3 avec la probabilité 0,5 chacun : E(X) = 2, V(X) = 0,5 1^2 + 0,5 1^2 = 1 et (X) = 1. Si Y vaut -1 ou 5 avec la probabilité 0,5 chacun, on a aussi E(Y) = 2, mais V(Y) = 9 et (Y) = 3 : Y est plus dispersée.

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