Arbres pondérés et tableaux croisés d'effectifs de Seconde

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• **Règles fondamentales d'un arbre pondéré** : 1. La somme des probabilités issues d'un même nœud est égale à 1. 2. La probabilité d'un chemin (intersection) est le **produit** des probabilités rencontrées le long de ce chemin. • **Tableau croisé** : la case à l'intersection de la ligne A et de la colonne B contient l'effectif de A B. Les marges contiennent les effectifs totaux de chaque catégorie.

Le cours

Pour dénombrer les issues d'une expérience aléatoire et calculer des fréquences ou probabilités, la classe de Seconde introduit deux outils visuels majeurs : le tableau croisé d'effectifs (ou tableau à double entrée) et l'arbre pondéré. Ces deux représentations permettent d'extraire rapidement des proportions et posent les fondations du conditionnement en Première : la formule P_A(B) = P(A B)/P(A) découle directement de la lecture d'une ligne ou d'une colonne dans un tableau d'effectifs. Tableau croisé d'effectifs Chaque case intérieure donne l'effectif d'une intersection, par exemple celui de A B. La dernière ligne et la dernière colonne (les marges) donnent les totaux de chaque catégorie ; la case en bas à droite donne l'effectif total. Pour un individu choisi au hasard : P(A B) = effectif de A Beffectif total et P_A(B) = effectif de A Beffectif de A. Arbre pondéré Le premier niveau porte P(A) et P(A) ; le second niveau porte les probabilités conditionnelles P_A(B), P_A(B), P_A(B) et P_A(B). 1. Les branches issues d'un même nœud ont une somme égale à 1. 2. La probabilité d'un chemin est le produit des probabilités de ses branches : P(A B) = P(A) P_A(B). 3. La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins qui le réalisent. Attention au dénominateur Sur 200 clients, 120 ont moins de 30 ans (A) et 90 d'entre eux achètent en ligne (B). Alors P(A B) = 90/200 = 0,45 (sur l'effectif total), mais P_A(B) = 90/120 = 0,75 (sur l'effectif de A). Sur l'arbre, on retrouve P(A) P_A(B) = 0,6 0,75 = 0,45.

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