Arbre pondéré et règles de calcul

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud vaut 1. • Probabilité d'un chemin : produit des probabilités de ses branches, P(A B) = P(A) P_A(B). • Probabilité d'un événement : somme des probabilités des chemins qui le réalisent. • Les branches du second niveau portent des probabilités conditionnelles.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Un **arbre pondéré** (ou arbre de probabilités) permet de modéliser une expérience séquentielle ou conditionnelle : 1. **Règle des nœuds** : La somme des probabilités des branches issues d'un même nœud est égale à 1. P(A) + P(A) = 1 et P_A(B) + P_A(B) = 1 2. **Règle du produit (chemin)** : La probabilité associée à un chemin complet est le produit des probabilités portées par ses branches : P(A B) = P(A) P_A(B). 3. **Règle de l'union** : La probabilité d'un événement associé à plusieurs chemins est la somme des probabilités de ces chemins. ### 2. Représentation visuelle et schéma clé P(A) A P_A(B) B → P(A ∩ B) P_A(B̄) B̄ → P(A ∩ B̄) P(Ā) Ā P_Ā(B) B → P(Ā ∩ B) P_Ā(B̄) B̄ → P(Ā ∩ B̄) ### 3. Méthode : construire et exploiter un arbre - **Premier niveau** : les événements dont la probabilité est donnée sur l'ensemble de la population (A et A). - **Second niveau** : les probabilités données « parmi », « sachant », « pour » ; elles sont conditionnelles et se placent sur les branches issues du nœud correspondant. - **Compléter** chaque nœud pour que la somme fasse 1, puis multiplier le long des chemins et additionner les chemins qui réalisent l'événement cherché. ### 4. Mini-exemple Avec P(A) = 0,6, P_A(B) = 0,5 et P_A(B) = 0,25 : on complète P(A) = 0,4, puis P(A B) = 0,6 0,5 = 0,3 et P(A B) = 0,4 0,25 = 0,1. L'événement B correspond à deux chemins : P(B) = 0,3 + 0,1 = 0,4.

Dans ce chapitre