Loi des grands nombres

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Sur un grand nombre n de répétitions indépendantes, la fréquence d'un événement se rapproche de sa probabilité p. • La moyenne des valeurs observées de X se rapproche de E(X). • Les écarts usuels, de l'ordre de 1n, diminuent quand n augmente.

Le cours

### 1. Énoncé (version du lycée) Lorsqu'on répète un grand nombre n de fois, de façon indépendante, une même expérience aléatoire : - la **fréquence** observée f_n d'un événement de probabilité p se rapproche de p ; - la **moyenne** des valeurs observées d'une variable aléatoire X se rapproche de son espérance E(X). Plus précisément, les grands écarts deviennent de plus en plus rares : dans environ 95\,\% des séries, l'écart entre la moyenne observée et E(X) ne dépasse pas 2n, quantité qui devient aussi petite que l'on veut quand n augmente. Il ne s'agit pas d'une limite de suite au sens habituel : f_n reste aléatoire. Ce résultat justifie que l'on estime une probabilité inconnue par une fréquence observée sur un grand nombre d'essais (sondages, simulations de Monte-Carlo), et que l'espérance s'interprète comme un gain moyen « à long terme ». ### 2. Méthode : utiliser la loi des grands nombres - **Estimer** : une fréquence calculée sur un grand nombre d'essais sert de valeur approchée de p, avec une précision de l'ordre de 1n. - **Prévoir un total** : sur n répétitions, le total d'une variable de gain est voisin de n E(X). - **Ne pas l'appliquer à court terme** : les épreuves restent indépendantes, le hasard ne « compense » pas les résultats passés. ### 3. Mini-exemple Pour une pièce équilibrée, la fréquence de Pile ne s'écarte de 0,5 de plus de 1n que dans environ 5\,\% des séries : cet écart vaut 0,1 pour n = 100 lancers, mais seulement 0,01 pour n = 10\,000.

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