Succession d'épreuves indépendantes

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Épreuves indépendantes : la probabilité d'une liste de résultats est le produit des probabilités de chaque résultat. • Un événement qui regroupe plusieurs ordres a pour probabilité la somme des probabilités de ces chemins. • P(au moins un succès) = 1 - P(aucun succès).

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental On réalise une suite de plusieurs expériences aléatoires où le résultat de chacune n'a aucune influence sur les suivantes (ex : lancers successifs d'une pièce ou tirages successifs avec remise). - La probabilité d'une liste ordonnée de résultats est égale au **produit des probabilités de chaque issue élémentaire** : P((x_1, x_2, , x_n)) = P(x_1) P(x_2) P(x_n) Cette règle fondamentale simplifie grandement l'analyse des processus sans mémoire. ### 2. Méthode : modéliser une succession d'épreuves - **Justifier l'indépendance** : lancers successifs, tirages avec remise, appareils qui fonctionnent séparément. - **Représenter** l'expérience par un arbre (ou par un tableau pour deux épreuves) : chaque issue est une liste ordonnée de résultats. - **Multiplier** les probabilités le long d'un chemin, puis **additionner** les chemins qui réalisent l'événement (par exemple les différents ordres possibles). - **« Au moins un »** : passer par l'événement contraire « aucun », dont la probabilité est un produit. ### 3. Mini-exemple On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré. La probabilité d'obtenir « Pile et un nombre pair » vaut 1/2 3/6 = 1/4 ; dans le tableau des 2 6 = 12 issues équiprobables, 3 conviennent, et 3/12 = 1/4.

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