Algorithmes d'estimation de probabilités

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Méthode de Monte-Carlo : simuler N fois l'expérience, compter les succès k, renvoyer f = k/N. • Le compteur s'initialise avant la boucle ; la division par N se fait après. • L'erreur est de l'ordre de 1N : la diviser par 10 demande 100 fois plus de simulations.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental Pour estimer une probabilité p = P(A) par la méthode de Monte-Carlo : 1. Répéter N fois l'expérience aléatoire. 2. Compter le nombre de succès k (cas favorables). 3. Renvoyer la fréquence f = k/N comme valeur approchée de p. **Algorithme type en Python** : ```python import random def estimation_proba(N): succes = 0 for _ in range(N): if experience_reussie(): # fonction qui simule une expérience succes += 1 return succes / N ``` ### 2. Méthode : écrire et exploiter l'algorithme - **Modéliser une expérience** par une fonction qui renvoie `True` en cas de succès (avec `randint`, `random() < p`…). - **Initialiser le compteur** à 0 avant la boucle, l'augmenter de 1 à chaque succès, et diviser par N après la boucle. - **Choisir N** : dans environ 95\,\% des cas, l'erreur est inférieure à 2N 1N ; pour gagner une décimale de précision, il faut multiplier N par 100. ### 3. Mini-exemple Pour estimer la probabilité d'obtenir au moins un 6 en lançant deux dés, la fonction teste `randint(1, 6) == 6 or randint(1, 6) == 6`. Avec N = 10\,000, la fréquence obtenue est proche de la valeur exacte 1 - (5/6)^2 = 11/36 0,306, à 0,01 près environ.

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