Schéma de Bernoulli

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Épreuve de Bernoulli : deux issues, le succès (probabilité p) et l'échec (probabilité 1 - p). • Schéma de Bernoulli : n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes ; paramètres n et p. • Sur l'arbre, un chemin se calcule en multipliant un facteur p par succès et un facteur 1 - p par échec.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental 1. **Épreuve de Bernoulli** : Expérience aléatoire à deux issues uniques contradictoires : - Le **succès** S de probabilité p. - L'**échec** E = S de probabilité q = 1 - p. 2. **Schéma de Bernoulli** : Répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes entre elles (les conditions expérimentales restent inchangées à chaque épreuve et la probabilité p est constante). Un schéma de Bernoulli est entièrement caractérisé par deux paramètres : le nombre de répétitions n N^* et la probabilité du succès p [0 ; 1]. ### 2. Méthode : reconnaître et exploiter un schéma de Bernoulli - **Vérifier les trois conditions** : chaque épreuve n'a que deux issues (on choisit celle que l'on appelle « succès ») ; la probabilité p du succès est la même à chaque épreuve ; les épreuves sont indépendantes (lancers, tirages avec remise). - **Donner les paramètres** : le nombre n de répétitions et la probabilité p du succès. - **Représenter** la situation par un arbre à n niveaux (en Première, n 4) : chaque chemin est une liste de succès S et d'échecs S, dont la probabilité s'obtient en multipliant des facteurs p et 1 - p. ### 3. Mini-exemple Une joueuse de basket réussit un lancer franc avec la probabilité 0,8, indépendamment des autres lancers. Sur 3 lancers francs, la probabilité de tous les réussir est 0,8^3 = 0,512, et celle de tous les manquer est 0,2^3 = 0,008.

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