Inversion de conditionnement et formule de Bayes

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• P_B(A) = P(A B)/P(B) = P(A) P_A(B)/P(B). • P(B) se calcule d'abord, par la formule des probabilités totales. • En général P_B(A) P_A(B) : on « remonte » l'arbre.

Le cours

### 1. Définition et cadre fondamental L'**inversion de conditionnement** consiste à calculer P_B(A) alors que l'on connaît P_A(B) et les probabilités de la partition. On utilise la définition conjointe avec la formule des probabilités totales : P_B(A) = P(A B)/P(B) = P(A) P_A(B)P(A)P_A(B) + P(A)P_A(B) Cette formule (dite de Bayes) est au cœur des diagnostics médicaux, des filtres anti-spam et de l'intelligence artificielle pour actualiser une probabilité à la lumière d'une nouvelle information. ### 2. Méthode : inverser un conditionnement - **Identifier** la probabilité demandée : la condition est souvent le résultat observé (test positif, alarme, pièce défectueuse), alors que l'énoncé donne les probabilités dans l'autre sens. - **Calculer le numérateur** P(A B) = P(A) P_A(B) par le chemin de l'arbre. - **Calculer le dénominateur** P(B) par la formule des probabilités totales. - **Diviser** : P_B(A) = P(A B)/P(B). La formule de Bayes n'est pas à apprendre par cœur : elle se retrouve par ces trois étapes. ### 3. Mini-exemple 30\,\% des clients d'un magasin ont la carte de fidélité (F) ; 60\,\% d'entre eux achètent un article en promotion (A), contre 20\,\% des autres clients. On a P(F A) = 0,3 0,6 = 0,18 et P(A) = 0,18 + 0,7 0,2 = 0,32, donc P_A(F) = 0,180,32 = 0,5625 : plus de la moitié des acheteurs d'articles en promotion ont la carte.

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