Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k

Première générale Spé · Mathématiques Spé 1ère

À retenir

• Chercher les antécédents d'un nombre k par la fonction f consiste à résoudre l'équation f(x) = k. • Un nombre k peut n'admettre aucun antécédent, en admettre un seul ou en admettre plusieurs. • Les solutions trouvées doivent obligatoirement appartenir au domaine de définition de f.

Le cours

Je reconnais & Je sais faire (Automatismes flash) Chercher les antécédents d'un nombre k par une fonction f consiste à résoudre l'équation : f(x) = k Exemple : antécédent de 7 par f(x) = 2x + 3 : 2x + 3 = 7 2x = 4 x = 2 Équation : f(x) = 7 2x + 3 = 7 ⟹ x = 2 Exemple concret & Résolution réflexe Situation : Un capteur délivre une tension U(T) = 0,1T + 2 en volts selon la température T. Pour quelle température la tension vaut-elle 5 V ? 0,1T + 2 = 5 0,1T = 3 T = 30,1 = 30^C. Je vérifie & Piège du Bac Le nombre -4 n'a AUCUN antécédent par la fonction carré : l'équation x^2 = -4 n'a pas de solution réelle, car un carré est toujours positif ou nul. Méthode en quatre temps 1. Poser l'équation f(x) = k. 2. Se ramener à une équation connue : premier degré, produit nul ou x^2 = a. 3. Ne garder que les solutions de l'ensemble de définition. 4. Vérifier en calculant l'image de chaque solution. Exemple : antécédents de 22 par f(x) = x^2 - 3 : x^2 - 3 = 22 x^2 = 25 x = -5 ou x = 5.

Dans ce chapitre

• Priorités opératoires, calcul mental et fractions réflexes de Collège
• Équations linéaires et factorisations élémentaires de Seconde
• Lectures graphiques et pentes de droites réflexes de Seconde
• Calculs numériques simples, priorités opératoires et parenthèses
• Fractions : simplification, comparaison et opérations élémentaires
• Puissances de 10, règles d'exposants et notation scientifique
• Proportions simples, passage aux pourcentages et retour à la quantité totale
• Pourcentages d'évolution, coefficients multiplicateurs et évolution réciproque flash
• Réduction et regroupement de termes d'une expression littérale
• Développement simple k(a + b) et double (a + b)(c + d)
• Factorisation par recherche d'un facteur commun évident
• Évaluation numérique d'une expression littérale pour une valeur donnée
• Équations du premier degré de la forme ax + b = c
• Équations avec quotients et fractions simples du type x/a = b
• Équations produit nul (ax + b)(cx + d) = 0
• Inéquations du premier degré et règle de changement de sens
• Calcul de l'image d'un nombre par une formule de fonction
• Recherche algébrique d'antécédents par résolution de f(x) = k
• Lectures graphiques directes : images, antécédents, zéros et extrema
• Fonctions affines : identification du coefficient directeur et de l'ordonnée à l'origine
• Situations de proportionnalité, linéarité et calcul de coefficient
• Effectifs, effectif total et calcul rapide de fréquences
• Calcul et interprétation d'une moyenne simple ou pondérée
• Médiane et quartiles Q1 et Q3 d'une série statistique discrète
• Étendue et écart interquartile d'une série statistique
• Lecture et exploitation rapide de représentations graphiques (diagrammes, histogrammes, boîtes)
• Probabilités simples et encadrement 0 <= P(A) <= 1
• Événement contraire et relation fondamentale P(non A) = 1 - P(A)
• Équiprobabilité et formule cas favorables sur cas possibles
• Extraction rapide de probabilités depuis un tableau à double entrée ou un arbre
• Probabilités conditionnelles élémentaires et distinction P_A(B) / P_B(A)
• Unités usuelles et conversions rapides (longueurs, aires, volumes, durées, vitesses)
• Ordres de grandeur et estimation rapide du résultat sans calculatrice
• Contrôle de vraisemblance et détection d'incohérences de calcul
• Bilan : Synthèse et méthode sur les Automatismes du Baccalauréat